Modelo Logístico
Teoría
El
modelo llamado de crecimiento logístico, fue introducido por Pierre François
Verhulst en 1838 y supone que la razón de crecimiento es proporcional conjuntamente
tanto a la población misma como a la cantidad faltante para llegar a la máxima
población sustentable. Escribiremos dicho modelo como:
En este modelo el número r se conoce como la razón de
crecimiento intrínseco, y K es la capacidad sustentable que es el máximo valor
que puede tener P. El valor de r depende sólo de la especie considerada, mientras
que K depende tanto de la especie como del ambiente en donde se desarrolla ésta
y es el máximo valor posible en ese ambiente.
VIDEO
SOLUCION MATEMATICA
Las
reservas pesqueras del halibut (especie de gran tamaño, parecida al lenguado)
en el Pacífico se modelan con la ED logística con capacidad sustentable de 80.5
x
, medida en kg (biomasa), y razón de
crecimiento intrínseco de 0.71 por año. Si la biomasa inicial es la cuarta
parte de la capacidad sustentable, encontrar la biomasa después de un año y el
tiempo que debe pasar para que la biomasa inicial se duplique, es decir, que
llegue a la mitad de la capacidad sustentable.
Observe que ahora P .t / no es el número de habitantes de
la población sino la biomasa al tiempo t, es decir, la masa total de los peces
de la especie halibut en el Pacífico. No repetiremos el proceso de resolución de
la ED, sino que escribiremos directamente su solución:
Es decir 1 año, 6 meses y 17 días aproximadamente.
Finalizamos
esta sección con algunas observaciones sobre la solución de la ecuación
logística. Primero hay que subrayar que en las situaciones de interés se tiene
Po < K, ya que no es realista suponer que la población inicial sea mayor que
la capacidad sustentable. En el caso extremo Po > K, se tiene que
Es
negativa, es decir, la población decrece hasta llegar (asintóticamente), según
el modelo, a K.
Fuente:
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