Modelo Predador – Presa

Teoría:
 

El modelo Presa-Depredador representa la interacción entre dos especies que conviven dentro de un mismo hábitat, en el cual el número de individuos de cada población no solo depende de la razón de crecimiento o decrecimiento natural, sino también de los encuentros exitosos entre ellos, es decir que un depredador pueda cazar la presa.

Como cualquier modelo, se desarrolla bajo supuestos que permiten restringir las condiciones del sistema real; tales como: 

1. -Las presas tienen un amplio suministro de alimentos.
2. -Los depredadores se alimentan de las presas.
3. -Las dos especies se encuentran con una razón proporcional a las dos poblaciones y, por lo tanto, es proporcional al producto de las dos poblaciones. 

La cantidad de individuos de cada especie se representará a través de variables dependientes del tiempo: 

P (t) para las presas y D (t) para los depredadores. 

Si tomamos un escenario en el cual no hay depredadores y hay un amplio suministro de alimentos, el número de P(t) seguiría un comportamiento exponencial y una tasa de crecimiento representada por: 

Con α una constante positiva. 

Si por el contrario, no existieran presas la población de depredadores disminuiría con una razón proporcional a sí misma, dada por la siguiente ecuación:

Con γ una constante positiva.

Cuando las dos especies interactúan, la principal razón de muerte de las presas es causada por los depredadores, mientras que la supervivencia de los depredadores depende del suministro de su  alimento (presa); por esto a las ecuaciones (2.1) y (2.2) se les incorpora un nuevo término que refleja el comportamiento de esta interacción, obteniendo el siguiente par de ecuaciones diferenciales autónomas y acopladas. (Ecuaciones de Lotka-Volterra)

 α se encuentra relacionada con la tasa de crecimiento de las presas,  γ se encuentra relacionada con la tasa de crecimiento de los depredadores, y δ,ϐ representan la influencia en el crecimiento o decrecimiento de las poblaciones.

Fuente:

http://ingenieria-matematica.eafit.edu.co/programa/practicas_investigativas/prac_inv_modelo_presa.pdf

Video

http://www.youtube.com/watch?v=E7bDoHtod_4

Resolución Numérica

Existen 3 métodos, los cuales se calculan en MATLAB. 

-       Método de Euler

-       Método de Runge – Kutta

-       Método del Trapecio

Solución de los siguientes datos con los 3 métodos posibles:

-       Método de Euler:

Para una población inicial de Presas R0=3000 y de Predadores F0=1000 (a escala 1:1000), en un intervalo  y para los valores a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05 de las constantes, el sistema se resuelve con el siguiente código en MATLAB®

 

Resultados gráficos:

 

-       Método de Runge – Kutta:

 

 Para una población inicial de Presas R0=3000 y de Predadores F0=1000 (a escala 1:1000), en un intervalo  y para los valores a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05 de las constantes, el sistema se resuelve 

Resultados gráficos:

 

-        

   Método del Trapecio

Este procedimiento se dejó de lado, puesto que se trata de un método implícito y no es sencillo de despejar el valor del próximo valor de (R,F) para procesarlo.

Fuente:

http://mat.caminos.upm.es/wiki/Modelo_Predador-Presa_de_Lokta-Volterra