Ecuación de Laplace

Ecuación de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable

¿Quién fue el inventor de dicha ecuación?

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal

3 de sus talentos más sobresalientes fueron…

·  Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.

·  Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

·  Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.

Algunos links interesantes sobre el:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Laplace.html

Definición:

Sea f una función definida para t > 0 , la transformada de la Lplace F(t) se define como: 

 En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones doblemente reales diferenciables. En dado caso la función “U” de variables reales x.y.z

Para coordenadas cartesianas. 

Para coordenadas cilíndricas.

En coordenadas esféricas. 

Las soluciones de la ecuación de la place se denominan funciones armónicas. 

Algunas de las formulas principales de la “Transformada de Laplace” son.

  

Para entender un poco mas sobre como aplicar las formulas aqui estan unos ejemplos de como poner en practica el tema.


Ejemplo 1 

Ejemplo 2

Ejemplo 3 

Fuentes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

Introducción

Las ecuaciones diferenciales son aquellas en las que intervienen derivadas de una o mas funciones desconocidas.

Dependiendo del numero de variables independientes respecto a las que se deriva, estas se pueden dividir en ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en Derivadas Parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o mas variables.

Ejemplo de una ecuación diferencial:

En base a la ecuación anterior podemos decir que una ecuación tiene orden, grado y linealidad, estos son factores que influyen en su solución.

Orden: El orden de la derivada mas alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación sea un polinomio, de no ser así se considera que no tiene grado.

Linealidad: Es cuando la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia de grado distinto de 1 o 0, en cada coeficiente que aparece multiplicandolas solo interviene la variable independiente y por ultimo una combinación lineal de sus soluciones también es solución de la ecuación.

Una ecuación lineal tiene la siguiente forma: 

Los usos de las ecuaciones diferenciales son muy variados pero generalmente se utilizan en todas las ramas de la ingeniería para modelas fenómenos físicos. Su uso es común en las ciencias aplicadas y también en ciencias fundamentales como química, matemáticas y economía.